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1.业余发现的数学难题

在《费马大定理》一书中，作者还比较详细地讲述了四色定理的发现过程。1852年的一天下午，绘图员弗朗西斯·格斯里在无聊之中，为英国分郡地图着色的时候，突然发现了一个看上去简单，但他却无法回答的问题，他非常想知道：为任何想要得到的地图着色，并使任何两个有公共边界的区域的颜色都不相同，那么最少需要多少种颜色？

格斯里尽管遭受着挫折，却仍然对这个问题很感兴趣，后来向他的弟弟雷德里克提到了这个问题，这位弟弟是伦敦大学数学院的一个学生，他又把问题提交给了他的教授，这位教授就写信给杰出的爱尔兰数学家和物理学家哈密顿。并且听说已经找到的例子都是只需要4种颜色，难道找不到必须用5种颜色或多种颜色的地图吗？

哈密顿并未能发现一张需要5种颜色的地图，但也未能证明这种地图存在。但有关这个问题的消息很快传遍了欧洲。但是造成它的证明确实是一个容易上当的难题。这其中有闵可夫斯墓曾有自以为是地说，这个问题之所以一直没有解决，原因在于只有三流的数学家尝试过它的证明，但是他自己的尝试以失败告终。这可是发明闵氏几何的数学大师呀（当然哈密顿也是数学大师），他还公开承认“上帝因我的傲慢而愤怒”，他认为他的证明也是有缺陷。当然，历史不会倒转闵大师不会想到，四色定理会被后来的数学界推举为“世界三大数学家难题之一”。

那么提出“四色定理”的格里斯的人生也很有意思，他去南非从事律师工作最后，又回到了职场上。成为了开鲁教大学的一名数学教授，但在那里他花在植物学上的时间，要比他在数学系得得时间还长。后来使他出名的事是一种杜鹃科植物的物种以他的名字命名—格斯里石楠，这应当是他在植物学上取得很重要的成就。

2.四色定理证明中的乌龙事件

在1879年出现了非常乐观的形势，当时英国数学家肯鲁在《美国数学杂志》上发表了一篇论文，他似乎证明了每张地图最多需要4种颜色，同行评审也似乎肯定了这篇论文的证明。他不久就当选了皇家学会会员，还因为他对数学的贡献而最终封为爵士。

然而过了10多年，到了1890年，达勒姆大学的一位讲师哈伍德发表了一篇论文，并震动了整个数学界。哈伍德认为肯鲁对四色定理的证明有很大的缺陷，除了否定肯鲁的证明外，唯一的好消息是，哈伍德可以证明地图所需的颜色的种类最多为4种或5种，不需要更多颜色，这就是著名的“五色定理”。虽然，肯鲁或哈伍德及其他一些人未能最终以解决四定定理，但是，他们的失败的努力部非常有价值，对新的正在蓬勃发展中的拓扑学做出了巨大的贡献。

3.图论学家的再努力

在图论建立之初，平面图以及它们的着色问题就成为研究的热点

这是因为它们和四色问题有着密切的联系.最初的四色问题是：是否总可以用四种颜色着色平面图的区域，使得图中共边的区域（不仅仅是一个点）有不同的颜色，如下图表明着色图的区域等价于着色平面图的顶点.将一顶点放入每个区域的内部（包含外面的区域），然后将相邻区域中的两个顶点连接起来，且连线要通过公共边.

这样生成的图G是M的对偶图，它是一个平面图，且一般意义下着色G的顶点相当于着色M的区域，因此我们只需研究顶点的着色问题.我们可以假设图G没有自环和重边，因为这两个概念与着色无关.

哈伍德证明了“五色定理”后，通过图论学，把事情用简化的镜头去观察地图，他们就能掌握四色问题的实质。第一个突破出现于1922年，当时富兰克林作出了一个证明：任何包含不多于25个区域的地图只能用4种颜色。1926年雷诺兹将证明推广到有27区域的地图。1940年，有人已经证明了39个区域。但个问题的证明似乎在重复费马大定理的历史，向着n个区域慢慢的推进。

4.用计算机证明四色定理

在1976年，由哈肯和阿佩尔利用无限多无限可变的地图可以由有限多的有限地图构造出来，通过研究这些基本地图就有可能掌握那个一般的问题。哈肯和阿佩尔把四色问题简化到1482种基本构型，核对这1482种地图和每种地图中所有可能的颜色组合是一个巨大数学工程，肯定是一批数学家的能力无法承受的，这只能靠计算机及相关技术的不断进步，最后在1200小时计算机的计算（未公布每秒运算速度是多少），在1976年6月他们两人宣布用计算机证明了四色定理。这虽然是一个计算机证明数学定理的巨大成就，但同时数学界也感到不安，因为在传统意义上，我们没有办法去核对这一证明。

5.计算机证明四色定理存在一个很大的瑕疵

这里先讨论一个有意思的话题，似乎是人们对四色问题的不懈努力的证明推动了图论的发展，但图论的发展又没能解决四色问题，最后不得不借助计算机来证明。但由于计算机证明的方法是建立在图论（对偶图）基础上的。这里就存在一个很大的瑕疵—计算机证明的结果并不能画出一个真实的世界地图（包括海洋），因为这种方法并没有说明最外层的国家（区域）只能有3种额色，然后由第4种颜色（海洋）来个大包围。如下图所示，这是一幅美国本土的所谓“四色地图”，也不是我们所说的“真实”四色地图，你可以将它调整成一个“真实”四色地图吗？

6.四色定理初等证明有没有意义？

《数学天书中的证明》作者在第34章介绍“平面图的五色问题”时指出：在漫长且艰辛尝试证明四色问题的历史中，有许多非常接近的结果，但是最终成功的是：哈肯和阿佩尔在1976年的证明和罗伯特森等人在1997年结合古老的想法（可以追溯到19世纪）和现代计算机最新的计算能力给出的验证证明.原始证明问世25年以来，情况基本上还是如此，即使盖兹给出了一个计算机生成计算机验算的证明，依然没有天书中能被看见的证明.

因此让我们退一步想，是否存在一个简洁的证明，可以说明任何平面图可以五着色.在上个世纪初，哈伍德给出了这个定理的证明.他的证明中运用到的基本工具（事实上在四色定理中也用到了）是欧拉公式。因为，无论从发现数学发展来看，还是从教育数学的美学价值来看，四色定理的初等证明都是很有意义的。

7.中国业余数学家的不懈努力

用计算机证明“四色定理”的时间是1976年，对中国人来讲是一个历史性的转折年，但在这一年了解“四色定理”问题的中国人极少。中国经过几十的发展，越来越多的人既掌握了一定的数学知识，又了解了这些“世界级数学难题”的来陇去脉，也就有许多人向这些难题发起挑战了。这其中业余数学家居多，失败者也多，但也有挑战成功者。

这些年来，中国的业余数学家就有几个人用不同的方法证明了“四色定理”（我至少看到了五、六种），不知道什么原因，没有引起数学家的重视，国内数学界好象没这么回事？这可能是有一部分人认为这个问题已被“计算机克服”，再没有数学价值了。或者是闵氏说的都是“三流”数学家在关注这个问题，而且绝大多数还只是业余的数学家。

前面我们也讲到，凭我们的数学直觉，四色定理也应该存在一种简约的初等证明方法，而且是每个高中生都能看懂并掌握的。实际上我们就找到了这样一种方法，将来就可以成为中学生的课外数学习题及数学游戏内容。我们也会将这个极简证明方法告诉《数学天书中的证明》的作者，以此了结他们的一个心愿。

我们做为业余数学家（或者叫数学爱好者）的感受可能别有一番滋味：我们用初等方法证明这些世界数学中的顶级难题，传统数学界不会给我们很高的评价。但我们还能做什么？这些方法将进入中学生的数学课堂，或者成为新的数学传奇故事，也就是我们真情实感的表露和心满意足的地方。实际上，我们已经改变了经典数学的历史。

这里还有一个值得思考的问题，我们感觉中国业余数学家队伍可能是世界上最庞大的，这不全与中国人口多有关，因为现在印度人口已超越中国了，但很少有印度业余数学家的信息。那么中国为什么有那么多的业余数学家？这背后又有什么深层次的原因呢？这也是值得我们这些业余数学家自已需要探讨的一个题目。

8.四色定理的初等证明

我们可以发现，虽然关注四色定理（问题）的人很多，但对它进行规范的数学表述并不多见。在《数学天书中的证明》的第34章“平面图的五色问题”中，给出了一个最初的四色问题表述：是否总可以用四种颜色着色平面图的区域，使得图中公共边的区域（不仅仅是一个点）有不同的颜色。

若回到发现这个问题的初始状态，也就是说，若给任何一个平面地图着色，只要有四种颜色就可以正确着色。当然，不同的人在研究和介绍四色定理时，也会有不同的数学表述方式。

我们证明四色定理的基本思路是：把数学归纳法和构造法有机地结合起来，也可以说是一种极端法和抽屉原则互为补充的综合方法。同时，为了更好的体现原命题的建模特点，我们将用“国”代表地图（平面图）上的不同区域。当然有时“国”也可能带表地图上的特殊区域-“海洋”。

证明设一幅地图T由n个国组成，它们在平面上依次两两相邻或者不相邻。依次相邻的国间的边界（线）是确定的。同时，我们用A、B、C、D表示地图着色用的四种不同的颜色，我们称为的着色数就是地图T使用这四种颜色的不同情况。

I.证明引理

引理1 在地图T中，作为孤立的岛国、国中之国、两国包围的第三国等的出现，不会增加地图的着色数。

证明略.

引理2 我们用的普通几何方形图与它的拓朴图的着色数是等价的。

证明：我们讨论的地图T的着色问题是关于图的“面—面”之间位置相邻关系，相邻两国之间只被一条线（边界）分开，三个以上国之间才有一个共同交点等等。那么方形图或者其他形式的几何图，都与“面—面”之间的拓朴图是同构。因此，它们图的着色数是等价的。

引理3 在图的“面—面”之间位置相邻关系，“两两相邻”的两国关系图中，由四个国组合而成的构型只有三种基本构型。我们可以称它们为：“两外两内”型、“一内三外”型、“一外三内”型，如下图所示。

证明略.因为再也找不到同类型图了。

显然，“定理3”在我们的这个证明中，处于核心地位，有着非凡的价值。同时，它还有三个续推，即下面三个引理。

引理4 在由四个国组合而成的“两两相邻”三种基本构型中，至少有一个国，被其他几个国包围在其中。同时，这些构型的最外层国的染色数也不会大于3。

证明略.

引理5 在由四个国组合而成的“两两相邻”三种基本构型中，最多只有四个国可以两两相邻，不可能有五个或者更多的图形“两两相邻”

证明在由四个国组合而成的“两两相邻”三种基本构型中，中间至少有一个国已经被外围几个国完全包围.因此，中间的那个国不可能再和其他国相邻了，所以最多只有四个国可以两两相邻，不可能有五个或者更多的图形两两相邻.

根据“最多只有四个图形可以两两相邻”的分析，可知任意的5个图形时四色定理正确，即还有下面的引理6。

引理6 在由四个国组合而成的“两两相邻”三种基本构型中，这些构型的若其中“独立”出一个新国时，则不会增加图的着色数。同时，最外层国的染色数也不会大于3。

为了使我们的证明更完美，我们还需要下面的两条引理。

引理7 若有4个以上的国有一个公共交点（星状图），当这些国的总数是偶数时，只需要2种颜色染色就可以区分；当这些国的总数是奇数时，则需要3种颜色染色就可以区分，也不增加地图的着色数。

用“无须语音的证明”表示如下图所示.

引理8 当这些国家的公共交点形成一个新国家时，地图的着色数不超过4种颜色。

用“无须语音的证明”表示如下图所示.

我们从引理7和8可以发现，所谓星状图是“引理3”中“一内三外”构型的变形，并不改变图的“两两相邻”基本关系。

假五色图的例题

为了更好地理解后面证明的方法，在这里介绍一个假五色图的例子，我们用“无须语音的证明”表示如下图所示，并且可以说明地图染色问题的“调色”操作过程。

通过上述8个引理的证明和假五色图的例题说明，使问题证明过程变的更简明，为后面的归纳推理提供说明依据和理论支持。

Ⅱ.数学归纳法的证明

当n=3时，即地图上有3个国家，它们之间有以下几种关系，当然最多可以用4种颜色给地图着色，这时图上A代表“海洋“的颜色。

当n=4时，根据引理和n=3时已证明的结果，我们可以构造出下列国与国之间的9种关系图，即a，b为两色图，c，d，e，f为三色图，g，h，i为四色图。同时，我们还会发现一个重要推论：若这9种图的所有外层被“海洋”包围时，图的着色数仍然不超过四种额色。即我们这种着色方式，还会造成最外层国的染色数也不会大于3。

我们在这里没有例举一种常见的图型—“扇型”图，因为“扇型”图与“层状”图（上面的图a）在着色数上是等价。实际上“扇型”图也是“星状”图（上面的图b）的局部。

当n=5时，即在n=4的情况下，又增加了一个新国家。我们可以按几种不同情况，分别讨论。

在上述 n=4的两色图（图a，b）和三色图（图c，d，e，f）地图情况下，无论在那里增加一个新国家，地图T的着色数不超过四种颜色。

在四色图（图g，h，i）的情况下，根据”引理4、5、6”，显然可以通过相同几种操作方式，使这些5个国组成的地图着色数仍然是四种颜色。同时，我们这种着色方式，会造成最外层国的染色数也不会大于3

但为了我们加深的认识，可以拿“两两相邻”三种基本构型其中“一内三外”型来操作，若“一内三外”型新增一个国家，显然可以通过以下几种操作方式，使这5个国组成的地图着色数仍然是四种颜色。同时，我们这种着色方式，会造成最外层国的染色数也不会大于3.

现在假设n=k时，地图正确着色用的颜色只有四种。

当n=k+1时，即地图在k个国的基础上又新增了一个国。这个新增的国出现的方式只有两种，一种是在内部；另一种是在外部（包括海洋)。

按照由n=4推出n=5的类似证明思路和着色操作方法，可以完成由n=k到n=k+1的归纳过渡证明。

Ⅲ.因此，这一个新生的国无论从哪里产生，都不会增加地图着色数。特别神奇的是，随着国数的增加，外层着色数仍然不超过3种颜色，当然是四种就麻烦了。这是因为外层的国数虽然远远大于4，但外层国与国之间只有两种关系：一种是“两两相邻”的情况，另外一种是“星状”图的外层。因此，无论如何，地图的最外层染色数不会超过3的。

这样最后会留下一种颜色给海洋。那么一幅完整地四色地图就绘制出来了。

9.四色定理的引发的有趣续推

我们还可以拿有名的“四色地图”来实验这个看似神奇的结果

a.这是国内“业余数学家”发表在知乎网上“证明四色定理”中的一—个图示。在这里先不讨论这个证明是否正确（我们初步判断是正确的）。但这张涉及128个国的图很能说明问题，因为它的最外层只用了1、2、4三种颜色，符合我们的证明。

b.下面这张图也是网上介绍四色定理常用的一个例图。若就其现在的着色关系着，似乎也没有问题。但这张图的外层国的着色数是4种颜色。那么如果是一个“真实”的地图，在最外层再被“海洋”所包围的情况下，则不成了“五色地图”了吗？

实际上，做一个简单调整，就可以使最外层国的着色数只有3了。最外层只有两个绿色国，右下角的绿色国与它最近的红色国对调。左下角的绿色国与右上角有一个与绿色国无相邻的红色国对调。这样就出现了我们想要的“真实”四色地图了。